논의의 대상을 보편적인 것으로 하기 위해, 사용되는 용어나 기호의 의미를 확실하게 규정한 문장이나 식
수학적인 용어에 대한 모든 특징들과 의미를 모든 사실을 통해서 나타낸 것
용어가 지니는 의미내용에 착오가 일어나지 않도록 뚜렷이 정한 절차. 용어(낱말, 구, 기타 상징의 집합)의 의미를 설명하는 문장
Example: 직각삼각형은 '한 내각의 크기가 직각인 삼각형을 직각삼각형이라 한다'
A precise and unambiguous description of the meaning of a mathematical term. It characterizes the meaning of a word by giving all the properties and only those properties that must be true.
Definition : an explanation of the mathematical meaning of a word.
Proof (증명)
'p이면 q이다'라는 합성명제에서 명제 p를 전제(가설 또는 가정), 명제 q를 결론(종결)이라 하고, 참인 전제에서 유효한 추론(전제가 참이면 결론도 참인 추론)에 의해 결론을 이끌어 내는 것을 증명이라고 함
$p\rightarrow r\rightarrow s\rightarrow q$의 꼴
합성명제 'p이면 q이다' (보통 조건명제 또는 간단한 조건) 을 참임을 증명하는 데, 이와 동치인 합성명제 '$\sim q \rightarrow \sim p$이다'가 참임을 증명하는 간접증명
A statement that is proved using rigorous mathematical reasoning.
Theorem : A statement that has been proven to be true.
A theorem is a more important statement than a proposition which says something definitive on the subject, and often takes more effort to prove than a proposition or lemma.
Proposition (명제)
증명(Proof)이 요구됨
Theorem보다 덜 중요한 참인 명제
어떤 주장을 가진 하나의 판단을 언어, 기호, 또는 식으로 나타낸 것
'A는 B다'라는 식의 형태를 취함
진위를 물어보는 뜻이 담긴 글을 명제문이라고 함
Example: '개는 동물이다'
A proved and often interesting result, but generally less important than a theorem.
Proposition : A less important but nonetheless interesting true statement.
A proposition is a statement which is interesting in its own right
Lemma (부명제, 보조정리)
독단적으로 잘 쓰이지 않으며, 또한 증명(Proof)이 요구됨
Theorem을 증명(Proof)하는 과정에서 필요한 중간 다리 역할
Proposition이나 Theorem을 증명(Proof)하는데 이용하는 참인 명제
Theorem을 증명하는데 쓸 목적으로 증명된 명제
수학에서 이미 증명된 명제로서 그 자체가 중시되기 보다는 다른 더 중대한 결과를 증명하는 디딤돌로 사용되는 명제
어떤 정리(Theorem)을 증명하는 데 쓸 목적으로 증명된 명제
Example: '$sin(x)$의 도함수는 $cos(x)$이다'라는 정리를 보통의 방법으로 증명될 때 사용되는 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 이면 $sin(x)<x<tan(x)$ 등은 보조정리라고 할 수 있음
보조정리는 경우에 따라 다른 많은 증명에 사용되기도 함
Example: 졸레의 보조정리, 슈바르츠의 보조정리
A minor result whose sole purpose is to help in proving a theorem. It is a stepping stone on the path to proving a theorem
Lemma: A true statement used in proving other true statements (that is, a less important theorem that is helpful in the proof of other results).
A lemma is an easily proved claim which is helpful for proving other propositions and theorems, but is usually not particularly interesting in its own right.
Corollary (따름정리, 추론, 계)
Theorem에 따름
Theorem이 증명(Proof)되었을 때, 만족하는 성질들을 Corollary라고 나열할 수 있음
Theorem, Proposition, Lemma로부터 바로 증명(Proof)할 수 있는 참인 명제
이미 증면된 다른 Theorem(정리)에 의해 바로 유도되는 명제
Corollary의 선언은 보통 그를 유도하는 Proposition(명제)나 Theorm(정리)의 선언을 뒤따름
정리(Theorem)에서 직접 파생된 명제(Proposition)
1개의 정리에서 바로 유도되는 사실로서 이용가치가 많은 것을 명제의 꼴로 나타낸 것을 원래의 정리의 따름정리 또는 계라 함
A result in which the (usually short) proof relies heavily on a given theorem.
Corollary: A true statment that is a simple deduction from a theorem or proposition.
A corollary is a quick consequence of a proposition or theorem that was proven recently.
Remark (주의, 뜻, 강조)
Theorem으로 하기에는 활용도가 낮고, Example로 하기에는 폭 넓게 쓰이는 참인 명제
If you want to refer to it again later, so you want to be able to say something like "By Remark 1.2,...".
You want to call attention to this particular remark.
The remark is tangential to the main focus of your discussion, so you want to isolate it as a discrete "Remark" that is separate from your main discussion.
Conjecture (추측, 예상)
증명(Proof)할 필요가 없는 추측이나 예상
저자가 생각하는 참일것같은 명제
증명(Proof)을 하지 못하고 반례도 들지 못하는 경우에 다른 독자의 도움을 받기 위해 또는 관심을 유도하기 위해 기술하는 명제
A statement that is unproved, but is believed to be true.
Conjecture: A statement believed to be true, but for which we have no proof. (a statement that is being proposed to be a true statement).
Question or Problem (문)
Conjecture와 마찬가지로 증명(Proof)이나 반례를 들지 못하는 명제
Conjecture보다 참일 가능성이 불확실항 경우에 기술
Note (주)
중요도가 Remark와 유사하거나 더 약하다고 생각되는 참인 명제
Axiom or Postulate (공리)
이론의 기초로서 가정한 명제
하나의 이론에서 증명 없이 바르다고 하는 명제
조건 없이 전제된 명제
무증명 명제라고도 부름
증명 없이 자명한 진리라고 보고, 그것을 출발점으로 하여 다른 명제를 증명하는 기본 명제
수학의 이론 체계에서 증명이나 명제의 전제로써 가정하는 몇 가지의 사항
A statement that is assumed to be true without proof. These are the basic building blocks from which all theorems are proved.
Axiom: A basic assumption about a mathematical situation. (a statement we assume to be true).
A set of statement without proof which is assumed to be true and used building blocks to prove several mathematical theorems and results.
Example (예제)
Definition이나 Theorem의 이해를 돕기 위한 참인 명제나 문장
적용 대상물이 구체적이기 때문에, 대상물이 공집합이 아니라는 것을 보여줌
정리의 가정을 하나라도 빼면 성립하지 않는다는 경우의 반례도 유용하게 Example로 사용
